Simulation Laboratory for Art and Science
芸術と科学のためのシミュレーション・ラボ
人間と数は互いに進化しあってきました。数は物事を定量的に定めるために導入されたと推察されます。 １，２，３、。。。ぐらいあればいい社会ではそれ以上の数は存在せず ”たくさん”で処理されたようです。 １，２，３、は手ごろな指の数に対応し、両手の指の数を超へて”たくさん”の中まで進行しました。 1,2,3,....という自然数が登場しました。...の最後はどうなのかということに頭をなやめるほど社会は複雑では なかったようです。それから0が発見されました。定量化するのにそもそも存在を否定するものを実態として認める ようになるとは大した進化です。更にマイナスによって定量化に方向性が持ち込まれました。それを整数と呼びます。 整数同士の比較から分数、小数が生まれました。さらに四角い土地を持ってる人が自分の土地の対角線の長さを表そうと すると、整数の比では表現できないことが分かり、分数や少数の間にまだまだいっぱい数がありそうだということが 発見されました。そこまでびっしり詰まっって、互いの大小が比べられる実数というのがついに現れ、人間が観測できる量は実数で表現されるはずだ、 ということになりました。 そんなわけで大体のコンピュータシミュレーションは実数に対応する単位をもとに行われます。 例外は２０世紀に入って一挙に有名になった量子力学によるシミューレーションです。 いろいろ流派はありますが、一般に量子力学を記述する波動関数は複素数という、実数より更に 抽象的な数で表せることになっています。ただし、波動関数自体は観測されず、その自乗が正の実数 として観測されるということになっています。 又、確率過程を追うシミュレーションも変数が正でなければならないという制限のもとで行われます。
どうやって、リンゴが木から落ちるかとか、電荷を帯びた粒子の運動を記述するのに、微分方程式が 用いられます。微分方程式は物体の位置がそこで働く力や速度で決まるということを表現しています。 その力や速度の表現に微分という概念が導入されました。 微分とはある位置から次の位置への変遷はすごく微小な変化のなかでは直線的であると仮定することです。 この方法論は爆発的な成功をおさめ、現在でも多くのシミュレーションでもちいられています。 然し、現実にはいくら微小にズームインしても、直線的な変化をしていないもの、いつまでズームインしても 同じパターンを示すフラクタルのようなものも見つかり、この手法が有効でないものも多くある ことが認識されています。 また、マクロには滑らかな変化で進行していそうな過程もミクロにみるとノイズでギザギザに変化している ということがほとんどです。こうした場合、ミクロのノイズを解明して、その厳密な振る舞いを 解析しなくても、その事象のマクロな挙動を推測する技術も発展してきました。 こんなミクロのノイズをランダムヲークとして取り扱う確率過程の一つがブラック・ショールズ過程です。
以下乱数による簡単なランダムヲークのシムレーションです。
以下は確率的な乱雑さではなく、非線形性から来る乱雑さを利用したシミュレーションです。古典的２階微分方程式に非線形な３次の項がある 結合した２つの振動子の位置と速度のシミュレーションです。